相続財産管理人が債権者への弁済を終えた後でも残余財産があれば、被相続人と生計を同じくしていた者や被相続人の療養看護につとめた者、その他被相続人と特別な縁故があった者（「特別縁故者」といいます。）は、家庭裁判所に対して相続財産の一部または全部の分与の請求を行うことができます。
ただし、特別縁故者として財産の分与を受けるには、あなたが特別縁故者に該当することを裁判所に対して立証しなければらりません（証拠が必要です）。また、分与を受けるには相続財産管理人が選任されてから１年以上の期間が掛かるうえ、分与請求できる期間も定められていますので、専門家にご相談下さい。

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相続財産管理人や特別縁故者の制度は、時間と費用と手間がかかるため使い勝手がよいとはいえません。
そこで、可能であれば、「いとこ」に遺言書を作成してもらい、遺贈を受けておくことをお勧めします。特に、遺言で相続財産全部の包括遺贈（全ての財産を譲るという内容の遺贈）を受けておくと、包括受遺者は相続人と同一の権利義務を有するため、相続人不存在の場合にあたらず、面倒な手続きを回避することができます（ただし、相続債務も承継します。）。
なお、相続財産全部の包括遺贈であっても名義変更などの手続きのためには遺言執行者が必要ですが、遺言で遺言執行者を指定しておけば、家庭裁判所に遺言執行者の選任の申立も必要がなくなります。

これに対して、一部の財産のみを遺贈する内容の遺言（一部遺言）では、やはり相続人不存在の手続が必要となるためお勧めできません。